Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對任意x∈R都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，則不等式f（x）＞$\frac{x+1}{2}$的解集為（-∞，1）．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{x+1}{2}$，求出g（1），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，確定其單調(diào)性，由單調(diào)性列式求解．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{x+1}{2}$，g（1）=f（1）-$\frac{1+1}{2}$=0，
則g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$，
∵對任意x∈R，都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）＜0，即g（x）為實數(shù)集上的減函數(shù)．
不等式即為g（x）＞0=g（1）．
則x＜1，
∴不等式的解集為（-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，解答的關(guān)鍵是正確構(gòu)造出輔助函數(shù)，是中檔題．