Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個(gè)根，是f(x)的導(dǎo)數(shù).

設(shè)，（n=1,2,……）

 （1）求的值；

 （2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有>a；

（3）記（n=1,2,……），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n。

Answer 1

(-∞,         ]∪[1, +∞)

解析:

(1)解方程x²+x-1=0得x=      

由?知?=,β=      

(2) f’ (x)=2x+1

         =     -                =            

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明該結(jié)論成立

①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1<=?成立，

②假設(shè)n=k(k≥1, k∈N*)時(shí)，結(jié)論也成立，即a_k<成立，

③那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

==-+<-+=+=

        

這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，故對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有a_n<

(3)

=   =       =

=()²

由題意知a_n>,那么有a_n>β，于是對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得

ln=ln()²=2 ln()

即數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為b₁= ln()=2ln(       )，公比為2的等比數(shù)列。

故其前n項(xiàng)和

 

S_n=2ln(       )       =2ln(       )(2ⁿ -1).