Question

 

已知數(shù)列、

（Ⅰ）若{a_n}是等比數(shù)列，試求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S­_n的公式；

（Ⅱ）當(dāng){b_n}是等比數(shù)列時(shí)，甲同學(xué)說：{a_n}一定是等比數(shù)列；乙同學(xué)說：{a_n}一定不是等比數(shù)列,你認(rèn)為他們的說法是否正確？為什么？

 

 

Answer 1

【答案】

 （I）解：因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列a₁=1,a₂=a.

∴a≠0，a_n=a^n－1.

又

即是以a為首項(xiàng), a²為公比的等比數(shù)列.

 

（II）甲、乙兩個(gè)同學(xué)的說法都不正確，理由如下：

解法一：設(shè){b_n}的公比為q，則

又a₁=1,a₂=a, a₁, a₃, a₅,…，a_2n－1，…是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，

a₂, a₄, a₆, …, a_2n , …是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，

即{a_n}為：1，a, q, aq , q², aq²,

當(dāng)q=a²時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列；

當(dāng)q≠a²時(shí)，{a_n}不是等比數(shù)列.

解法二：{a_n}可能是等比數(shù)列，也可能不是等比數(shù)列，舉例說明如下：

設(shè){b_n}的公比為q

（1）取a=q=1時(shí)，a_n=1(n∈N)，此時(shí)b_n=a_na_n+1=1, {a_n}、{b_n}都是等比數(shù)列.

（2）取a=2, q=1時(shí)，

所以{b_n}是等比數(shù)列，而{a_n}不是等比數(shù)列．