已知△ABC中tanA=3，
AP
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，
AD
=λ（
AB
|
AB
|•cosB
+
AC
|
AC
|•cosC
）且
AP
∥
AD
，則tanB=（　�。�
A、
1
2
B、
2
3
C、1
D、
3
2
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應用
分析：由
AD
=λ（
AB
|
AB
|•cosB
+
AC
|
AC
|•cosC
）可得
AD
•
CB
=λ(
AB
•
CB
|
AB
|cosB
+
AC
•
CB
|
AC
|cosC
)=0，可得
AD
⊥
CB
．又
AP
∥
AD
，可得
AP
⊥
BC
．由
AP
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，不妨設PC=1，則BP=2．AP=x．可得tan∠BAP=
2
x
，tan∠CAP=
1
x
．利用tan∠BAC=tan（∠BAP+∠CAP）=
tan∠BAP+tan∠CAP
1-tan∠BAPtan∠CAP
=3，解得x．在△ABP中，利用tanB=
AP
BP
即可得出．
解答： 解：∵
AB
•
CB
=|
AB
||
CB
|cosB，
AC
•
BC
=|
AC
||
BC
|cosC，
AD
=λ（
AB
|
AB
|•cosB
+
AC
|
AC
|•cosC
）
∴
AD
•
CB
=λ(
AB
•
CB
|
AB
|cosB
+
AC
•
CB
|
AC
|cosC
)=λ(|
CB
|-|
BC
|)=0，
∴
AD
⊥
CB
．
∵
AP
∥
AD
，
∴
AP
⊥
BC
．
∵
AP
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，
∴設PC=1，則BP=2．AP=x．
則tan∠BAP=
2
x
，tan∠CAP=
1
x
．
∴tan∠BAC=tan（∠BAP+∠CAP）=
tan∠BAP+tan∠CAP
1-tan∠BAPtan∠CAP
=
2
x
+
1
x
1-
2
x2
=3，
化為x2-x-2=0，
解得x=2．
在△ABP中，tanB=
AP
BP
=1，
故選：C．
點評：本題考查了向量的數(shù)量積運算性質、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關系、兩角和差的正切公式、直角三角形的邊角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
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B、y=cos|x|
C、y=tan|x|
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A、1B、2C、3D、4

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