Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交圓O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．
（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）若∠CAB=60°，⊙O的半徑為2，EC=1，求DE的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵AB是圓O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交圓O于點D，

∴∠ODA=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE，

又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD為半徑，

∴DE是圓O的切線

（2）解：連結(jié)BC，在Rt△ABC中，∠CAB=60°，AB=4，

∴AC=ABcos60°=2…（7分）

又∵EC=1，∴AE=EC+CA=3，

由圓的切割線定理得：

DE2=CEEA=3，∴ ．

【解析】（1）連接OD，由已知得∠ODA=∠OAD=∠DAC，從而OD∥AE，由此能證明DE是圓O的切線．（2）連結(jié)BC，由已知得AC=2，AE=EC+CA=3，由此利用圓的切割線定理能求出DE的值．