Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（1）求角A；
（2）若a=

7

，且△ABC的面積為

3 3

2

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)已知等式的左邊，通分后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，右邊利用正弦定理化簡(jiǎn)，變形后求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由sinA的值及已知三角形的面積，利用面積公式求出bc的值，再由a與cosA的值，利用余弦定理及完全平方公式列出關(guān)系式，變形后將bc的值代人，開(kāi)方即可求出b+c的值．

解答：解：（1）∵1+

tanA

tanB

=1+

sinAcosB

sinBcosA

=

sinAcosB+cosAsinB

sinBcosA

=

2c

b

=

2sinC

sinB

，
∴

sin(A+B)

sinBcosA

=

sinC

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，
∴cosA=

1

2

，又A為三角形的內(nèi)角，
∴A=60°；
（2）∵a=

7

，A=60°，S_△ABC=

3 3

2

，
∴

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3 3

2

，即bc=6，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：7=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-18，
∴（b+c）²=25，
則b+c=5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的面積公式，正弦、余弦定理，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理、公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．