Question

設函數f（x）=|2x+1|-|x-2|，?x∈R，使得f（x）≤t²-

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2

t成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：不等式的解法及應用

分析：f（x）=|2x+1|-|x-2|，通過對自變量x的取值范圍的討論，去掉絕對值符號，解相應的不等式，可求得f（x）_min=f（-

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）=-

5

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，依題意，解不等式t²-

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t≥f（x）_min=-

5

2

即可．

解答： 解：因為f（x）=|2x+1|-|x-2|，
所以，當x＜-

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時，f（x）=-2x-1-（2-x）=-3-x，f（x）≥-3+

1

2

=-

5

2

；
當-

1

2

≤x≤2時，f（x）=3x-1，-

5

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≤f（x）≤5；
當x＞2時，f（x）=x+3，f（x）＞5；
綜上所述，f（x）_min=f（-

1

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）=-

5

2

；
存在x∈R，使得f（x）≤t²-

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t成立，只須使t²-

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t≥f（x）_min=-

5

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，
解不等式2t²-11t+5≥0得t≤

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2

或t≥5，
所以，實數t的取值范圍為（-∞，

1

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]∪[5，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論思想與恒成立問題，求得f（x）_min=f（-

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）=-

5

2

是關鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題．