Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別是AB、AD的中點．
（1）求證：EF⊥AC₁；
（2）求BD₁與平面AFD₁所成的角；
（3）求三棱錐B-AFD₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得AC⊥BD，CC₁⊥BD，EF∥BD，從而BD⊥平面ACC₁，由此能證明EF⊥AC₁．
（2）由AB⊥平面AFD₁，得∠BD₁A是BD₁與平面AFD₁所成的角，由此能求出BD₁與平面AFD₁所成的角．
（3）由S△AFD1=

1

2

×

1

2

×a×a=

1

4

a2，能求出三棱錐B-AFD₁的體積．

解答： （1）證明：∵在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
點E、F分別是AB、AD的中點，
∴AC⊥BD，CC₁⊥BD，EF∥BD，
∴BD⊥平面ACC₁，
∴EF⊥平面ACC₁，∴EF⊥AC₁．
（2）解：∵AB⊥平面AFD₁，
∴∠BD₁A是BD₁與平面AFD₁所成的角，
∵AB=a，AD₁=

2

a，
∴tan∠BD₁A=

AB

AD1

=

a

2 a

=

2

2

，
∴BD₁與平面AFD₁所成的角為arctan

2

2

．
（3）解：∵S△AFD1=

1

2

×

1

2

×a×a=

1

4

a2，
∴三棱錐B-AFD₁的體積：
V=

1

3

×S△AFD1×AB=

1

3

×

1

4

a2×a=

1

12

a3．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．