【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,PA=AD,F(xiàn)為PD的中點.
(1)求證:AF⊥平面PDC;
(2)求直線AC與平面PCD所成角的大。
【答案】
(1)解:∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵正方形ABCD中,CD⊥AD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AF,
∵PA=AD,F(xiàn)P=FD
∴AF⊥PD
又∵CD∩PD=D
∴AF⊥平面PDC
(2)解:連接CF
由(1)可知CF是AF在平面PCD內(nèi)的射影
∴∠ACF是AF與平面PCD所成的角
∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC
在△ACF中,
∴
AF與平面PCD所成的角為30°
【解析】(1)由已知先證明CD⊥平面PAD,可得:CD⊥AF,結合AF⊥PD,可得AF⊥平面PDC;(2)連接CF,由(1)可知CF是AF在平面PCD內(nèi)的射影,故∠ACF是AF與平面PCD所成的角,解得答案.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點,需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上. (Ⅰ)求異面直線D1E與A1D所成的角;
(Ⅱ)若二面角D1﹣EC﹣D的大小為45°,求點B到平面D1EC的距離.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD與AB垂直,并與AB相交于點E,點F為弦CD上異于點E的任意一點,連接BF、AF并延長交⊙O于點M、N.
(1)求證:B、E、F、N四點共圓;
(2)求證:AC2+BFBM=AB2 .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為: (t為參數(shù)),它與曲線C:(y﹣2)2﹣x2=1交于A,B兩點.
(1)求|AB|的長;
(2)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設點P的極坐標為 ,求點P到線段AB中點M的距離.
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【題目】某廠準備生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,每件銷售收入分別為3千元,2千元.甲、乙產(chǎn)品都需要在A,B兩種設備上加工,在每臺A,B上加工一件甲產(chǎn)品所需工時分別為1小時、2小時,加工一件乙產(chǎn)品所需工時分別為2小時、1小時,A、B兩種設備每月有效使用臺時數(shù)分別為400小時和500小時.如何安排生產(chǎn)可使月收入最大?
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【題目】某市電視臺為了宣傳,舉辦問答活動,隨機對該市15至65歲的人群進行抽樣,頻率分布直方圖及回答問題統(tǒng)計結果如表所示:
組號 | 分組 | 回答正確 | 回答正確的人數(shù) |
第1組 | [15,25) | 5 | 0.5 |
第2組 | [25,35) | a | 0.9 |
第3組 | [35,45) | 27 | x |
第4組 | [45,55) | b | 0.36 |
第5組 | [55,65) | 3 | y |
(1)分別求出a,b,x,y的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,則第2,3,4組每組應各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,電視臺決定在所抽取的6人中隨機抽取3人頒發(fā)幸運獎,求:所抽取的人中第3組至少有1人獲得幸運獎的概率.
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【題目】已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且a2a3=a5 , S4=10S2 .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=(2n﹣1)an , 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】如圖,OA、OB是兩條公路(近似看成兩條直線), ,在∠AOB內(nèi)有一紀念塔P(大小忽略不計),已知P到直線OA、OB的距離分別為PD、PE,PD=6千米,PE=12千米.現(xiàn)經(jīng)過紀念塔P修建一條直線型小路,與兩條公路OA、OB分別交于點M、N.
(1)求紀念塔P到兩條公路交點O處的距離;
(2)若紀念塔P為小路MN的中點,求小路MN的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 在(﹣1,+∞)是增函數(shù).
(1)當b=1時,求a的取值范圍.
(2)若g(x)=f(x)﹣1008沒有零點,f(1)=0,求f(﹣3)的值.
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