Question

給定橢圓C：（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，橢圓C上一動點(diǎn)M₁滿足．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點(diǎn)P（0，m）（m＜0），使得過點(diǎn)P作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得：得，半焦距，所以橢圓C的方程為，“伴隨圓”的方程為x²+y²=4．
（Ⅱ）假設(shè)y軸上存在點(diǎn)P（0，m）（m＜0），則設(shè)過點(diǎn)P且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線l為：y=kx+m，則 ，整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0，所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²，由此能夠?qū)С鰕軸上存在點(diǎn)P（0，-2）．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：得，半焦距（2分）
則b=1橢圓C的方程為（3分）
“伴隨圓”的方程為x²+y²=4（5分）
（Ⅱ）假設(shè)y軸上存在點(diǎn)P（0，m）（m＜0），
則設(shè)過點(diǎn)P且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線l為：y=kx+m，（1分）
則 整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0（3分）
所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²①（5分）
又因?yàn)橹本�l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，
則有化簡得m²=2（k²+1）②（7分）
聯(lián)立①②解得，k²=1，m²=4，所以k=±1，m=-2（∵m＜0）
所以y軸上存在點(diǎn)P（0，-2）（9分）
點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的直線 的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．