Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(

2

，0)，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程．
（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l₁，l₂分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N．
①當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求l₁，l₂的方程；
②求證：|MN|為定值．

Answer 1

分析：（I）由橢圓的方程與準(zhǔn)圓的方程關(guān)系求得準(zhǔn)圓的方程
（II）（1）由準(zhǔn)圓x²+y²=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2），
設(shè)橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=kx+2，與準(zhǔn)圓方程聯(lián)立，由橢圓與y=kx+2只有一個(gè)公共點(diǎn)，求得k．從而得l₁，l₂方程
（2）分兩種情況①當(dāng)l₁，l₂中有一條無(wú)斜率和②當(dāng)l₁，l₂都有斜率處理．

解答：解：（I）因?yàn)?span id="kqtg5ta" class="MathJye">c=

2

，a=

3

，所以b=1
所以橢圓的方程為

x2

3

+y2=1，
準(zhǔn)圓的方程為x²+y²=4．
（II）（1）因?yàn)闇?zhǔn)圓x²+y²=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2），
設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，2），且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=kx+2，
所以

y=kx+2 x2 3 +y2=1

，消去y，得到（1+3k²）x²+12kx+9=0，
因?yàn)闄E圓與y=kx+2只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，
解得k=±1．
所以l₁，l₂方程為y=x+2，y=-x+2．

（2）①當(dāng)l₁，l₂中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)l₁無(wú)斜率，
因?yàn)閘₁與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為x=

3

或x=-

3

，
當(dāng)l₁方程為x=

3

時(shí)，此時(shí)l₁與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)(

3

，1)，(

3

，-1)，
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

3

，1)（或(

3

，-1)）且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是y=1（或y=-1），即l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可證l₁方程為x=-

3

時(shí)，直線l₁，l₂垂直．
②當(dāng)l₁，l₂都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀）與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=t（x-x₀）+y₀，
則

y=tx+(y0-tx0) x2 3 +y2=1

，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，△=[6t（y₀-tx₀）]²-4•（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，
因?yàn)閤₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，因?yàn)閘₁，l₂與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以t₁，t₂滿足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
綜合①②知：因?yàn)閘₁，l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，且l₁，l₂垂直，
所以線段MN為準(zhǔn)圓x²+y²=4的直徑，所以|MN|=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與曲線的位置關(guān)系，通過(guò)情境設(shè)置，拓展了圓錐曲線的應(yīng)用范圍，同時(shí)滲透了其他知識(shí)，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．