已知A，B是拋物線y2=-7x上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB
（Ⅰ）求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）求△AOB的面積的最小值．
（1）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
y12=-7x1
y22=-7x2
，
∵OA⊥OB，∴
OA
•
OB
=0，
∴x1x2+y1y2=0，
∴（-
y12
7
）•（-
y22
7
）+y1y2=0，
∴y1y2=-49，x1x2=49，
∴kAB=
y1-y2
x1-x2
=
y1-y2
y12
-7
-
y22
-7
=
-7
y1+y2
，
∴AB的方程為y-y1=
-7
y1+y2
(x-x1)，
∴y=
-7
y1+y2
x-
49
y1+y2
，
∴y=
-7
y1+y2
（x+7），
∴直線AB過點(diǎn)（-7，0）…（6分）
（2）∵直線AB過點(diǎn)（-7，0），OA⊥OB，
∴當(dāng)直線AB過（-7，0）且垂直于x軸時(shí)，△AOB的面積的取最小值．
此時(shí)A（-7，7），B（-7，-7），
∴|OA|=|OB|=7
2
，
∴△AOB的面積的最小值S=
1
2
×7
2
×7
2
=49．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB．
（I）求證：直線AB過定點(diǎn)M（4，0）；
（II）設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P到直線x-y=0的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，l為拋物線的準(zhǔn)線．
（1）若過A點(diǎn)的拋物線的切線與y軸相交于C點(diǎn)，求證：|AF|=|CF|；
（2）若
OA
•
OB
+p2=0（A、B異于原點(diǎn)），直線OB與過A且垂直于X軸的直線m相交于P點(diǎn)，求P點(diǎn)軌跡方程；
（3）若直線AB過拋物線的焦點(diǎn)，分別過A、B點(diǎn)的拋物線的切線相交于點(diǎn)T，求證：
AT
•
BT
=0，并且點(diǎn)T在l上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（理）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn)．
（1）設(shè)過點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1，與過點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請(qǐng)你對(duì)問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q（x0，0）．若x0=5，試用線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示線段AB的長度，并求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（文）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn)．
（1）設(shè)過點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1，與過點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請(qǐng)你對(duì)問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q（x0，0）．若x0＞2，試用x0表示線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，非零向量
OA
， 
OB
滿足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|．
（Ⅰ）求證：直線AB經(jīng)過一定點(diǎn)；
（Ⅱ）當(dāng)AB的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離的最小值為
2
5
5
時(shí)，求p的值．

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