Question

10．已知函數(shù)f（x）=（2ax-lnx）x有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{4}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=4ax-lnx-1，設(shè)g（x）=lnx+1-4ax，函數(shù)f（x）=（2ax-lnx）x有兩個極值點，則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根．分類當a≤0時，g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減，g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上沒有兩個實數(shù)根，當a＞0時，g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{4a}$，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{4a}$，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，當x=$\frac{1}{4a}$時，函數(shù)g（x）取得極小值，使函數(shù)f（x）=（2ax-lnx）x有兩個極值點，只需g（$\frac{1}{4a}$）=4a×$\frac{1}{4a}$-ln$\frac{1}{4a}$-1＜0，即ln$\frac{1}{4a}$＞0，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）=（2ax-lnx）x=2ax²-xlnx（x＞0），f′（x）=4ax-lnx-1．
設(shè)g（x）=4ax-lnx-1，
∵函數(shù)f（x）=（2ax-lnx）x有兩個極值點，
則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根．
g′（x）=4a-$\frac{1}{x}$=$\frac{4ax-1}{x}$，
當a≤0時，g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上沒有兩個實數(shù)根，舍去．
當a＞0時，令g′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{4a}$．
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{4a}$，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{4a}$，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
∴當x=$\frac{1}{4a}$時，函數(shù)g（x）取得極小值．
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根，
只需g（$\frac{1}{4a}$）=4a×$\frac{1}{4a}$-ln$\frac{1}{4a}$-1＜0，即ln$\frac{1}{4a}$＞0，解得：0＜a＜$\frac{1}{4}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．
故選A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．