Question

甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼,他們能譯出密碼的概率分別為和,求:

(1)兩個人都譯出密碼的概率;

(2)兩個人都譯不出密碼的概率;

(3)恰有一個人譯出密碼的概率;

(4)至多一個人譯出密碼的概率;

(5)至少一個人譯出密碼的概率.

Answer 1

解析:我們把“甲獨立地譯出密碼”記為事件A,把“乙獨立地譯出密碼”記為事件B,顯然A、B為相互獨立事件,問題(1)兩個都譯出密碼相當于事件A、B同時發(fā)生,即事件AB.問題(2)兩人都譯不出密碼相當于事件.問題(3)恰有一個人譯出密碼可以分成兩類:A發(fā)生B不發(fā)生,A不發(fā)生B發(fā)生,即恰有一個人譯出密碼相當于事件A+B.問題(4)至多一個人譯出密碼的對立事件是兩個人都未譯出密碼,即事件.由于A、B是獨立事件,上述問題中,與B,A與,與是相互獨立事件,可以用公式計算相關概率.

解:記“甲獨立地譯出密碼”為事件A,“乙獨立地譯出密碼”為事件B,A、B為相互獨立事件,且P(A)=,P(B)=.

(1)兩個人都譯出密碼的概率為P(AB)=P(A)×P(B)=×=.

(2)兩個人都譯不出密碼的概率為P()=P()×P()=［1-P(A)］×［1-P(B)］=(1-)(1-)=.

(3)恰有一個人譯出密碼可以分為兩類:甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出,且兩個事件為互斥事件,所以恰有一個人譯出密碼的概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()

P(B)=(1-)+(1-)=.

(4)“至多1個人譯出密碼”的對立事件為“有兩個人譯出密碼”,所以至多1個人譯出密碼的概率為1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-×=.

(5)“至少有1個人譯出密碼”的對立事件為“兩人未譯出密碼”,所以至少有1個人譯出密碼的概率為1-P()=1-P()P()=1-=.

小結：如果需要提高能譯出密碼的可能性,就需要增加可能譯出密碼的人,現(xiàn)在可以提出這樣的問題:若要達到譯出密碼的概率為99%,至少需要像乙這樣的人多少個?我們可以假設有n個像乙這樣的人分別獨立地破譯密碼,此問題相當于n次獨立重復試驗,要譯出密碼相當于至少有1個譯出密碼,其對立事件為所有人都未譯出密碼,能譯出密碼的概率為1-［P()］ⁿ=1-(1-)ⁿ=1-()ⁿ,按要求,1-()ⁿ≥0.99,故()ⁿ≤0.01,可以計算出n≥16,即至少有像乙這樣的人16名,才能使譯出密碼的概率達到99%.