Question

一動(dòng)圓與圓x²+y²+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x²+y²-6x-91=0內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是

x2

36

+

y2

27

=1

．

Answer 1

分析：求出兩個(gè)圓的圓心與半徑，設(shè)出動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)，判斷動(dòng)圓的圓心的軌跡滿足橢圓的定義，然后求解方程．

解答：解：設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，設(shè)已知圓的加以分別為O₁、O₂，
將圓x²+y²+6x+5=0的方程分別配方得：（x+3）²+y²=4，
圓x²+y²-6x-91=0化為（x-3）²+y²=100，
當(dāng)動(dòng)圓與圓O₁相外切時(shí)，有|O₁M|=R+2…①
當(dāng)動(dòng)圓與圓O₂相內(nèi)切時(shí)，有|O₂M|=10-R…②
將①②兩式相加，得|O₁M|+|O₂M|=12＞|O₁O₂|，
∴動(dòng)圓圓心M（x，y）到點(diǎn)O₁（-3，0）和O₂（3，0）的距離和是常數(shù)12，
所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn)O₁（-3，0）、O₂（3，0），長軸長等于12的橢圓．
∴2c=6，2a=12，
∴c=3，a=6
∴b²=36-9=27
∴圓心軌跡方程為

x2

36

+

y2

27

=1．
故答案為：

x2

36

+

y2

27

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題以兩圓的位置關(guān)系為載體，考查橢圓的定義，考查軌跡方程，確定軌跡是橢圓是關(guān)鍵．