Question

（2013•大連一模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（α為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2+2cosβ y=2sinβ

（β為參數(shù)），P是C₂上的點(diǎn)，線段OP的中點(diǎn)在C₁上．
（Ⅰ）求C₁和C₂的公共弦長(zhǎng)；
（Ⅱ）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先將曲線C₁、C₂化成一般方程，是兩個(gè)圓的方程，得到兩圓的公共弦所在直線為y=x，其中一個(gè)圓的圓（2，0）到該直線距離為

2

，利用直角三角形求出公共弦長(zhǎng)．
（Ⅱ）將曲線C₁、C₂的直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程，設(shè)M（ρ，θ），則P（2ρ，θ），兩點(diǎn)分別代入C₁和C₂解得極徑和極角，從而得出點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）曲線C₁的一般方程為x²+（y-2）²=4，
曲線C₂的一般方程為（x-2）²+y²=4．（2分）
兩圓的公共弦所在直線為y=x，（2，0）到該直線距離為

2

，所以公共弦長(zhǎng)為2

22- 2 2

=2

2

．（5分）
（Ⅱ）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．（7分）
設(shè)M（ρ，θ），則P（2ρ，θ），兩點(diǎn)分別代入C₁和C₂解得ρ=

4 5

5

，θ不妨取銳角arcsin

5

5

，
所以P(

8 5

5

，arcsin

5

5

)．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法，以及兩圓位置關(guān)系的判斷方法，求兩圓的公共弦長(zhǎng)等，屬于基礎(chǔ)題．