Question

已知λ∈R，函數(shù)f（x）=lnx-

λ(x-1)

x+λ-1

，其中x∈[1，+∞）．
（Ⅰ）當λ=2時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在函數(shù)y=lnx的圖象上取點P_n（n，lnn）（n∈N^*），記線段P_nP_n+1的斜率為k_n，S_n=

1

k1

+

1

k2

+…+

1

kn

．對任意正整數(shù)n，試證明：
（�。㏒_n＜

n(n+2)

2

；           
（ⅱ）S_n＞

n(3n+5)

6

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)求函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）利用兩點的連線的斜率公式得出k_n，再利用（Ⅰ）的結(jié)論對S_n放縮即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）λ=2時，f(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

 (x≥1)，
求導可得f′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

≥0…（3分）
所以，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）的最小值是f（1）=0．…（5分）

（Ⅱ）依題意，kn=

ln(n+1)-lnn

n+1-n

=ln(1+

1

n

)．        …（6分）
（�。┯桑á瘢┛芍�，若取λ=2，則當x＞1時f（x）＞0，即lnx＞

2(x-1)

x+1

．
于是 ln(1+

1

n

)＞

2(1+ 1 n -1)

1+ 1 n +1

=

2

2n+1

，即知

1

kn

＜

2n+1

2

．…（8分）
所以 Sn=

n

i=1

1

ki

＜

n

i=1

2i+1

2

=

n(n+2)

2

．             …（9分）
（ⅱ）取λ=3，則f(x)=lnx-

3(x-1)

x+2

 (x≥1)，
求導可得f′(x)=

1

x

-

3(x+2)-3(x-1)

(x+2)2

=

(x-1)(x-4)

x(x+2)2

當x∈（1，2）時，f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）單調(diào)遞減．
所以，x∈（1，2]時，f（x）＜f（1）=0，即lnx＜

3(x-1)

x+2

．…（12分）
注意到，對任意正整數(shù)n，1+

1

n

∈(1，2]，于是kn=ln(1+

1

n

)＜

3(1+ 1 n -1)

1+ 1 n +2

=

3

3n+1

，
即知

1

kn

＞

3n+1

3

． …（13分）
所以  Sn=

n

i=1

1

ki

＞

n

i=1

3i+1

3

=

n(3n+5)

6

．            …（14分）

點評：本題考查導數(shù)的性質(zhì)的綜合運用及運用導數(shù)法證明函數(shù)與不等式的綜合問題的處理能力，解題時注意轉(zhuǎn)化思想的運用．