Question

（2013•懷化二模）在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓x2+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左焦點為F，左、右頂點分別為A，C，上頂點為B，過B，C，F(xiàn)三點作圓P．
（Ⅰ）若線段CF是圓P的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓P的圓心在直線x+y=0上，求橢圓的方程；
（Ⅲ）若直線y=x+t交（Ⅱ）中橢圓于M，N，交y軸于Q，求|MN|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的方程知a=1，根據(jù)線段CF是圓P的直徑，求出c的值，即求橢圓的離心率；
（Ⅱ）利用圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，確定P的坐標，根據(jù)圓P的圓心在直線x+y=0上，求出基本量，即可求橢圓的方程；
（Ⅲ）直線y=x+t與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，表示出|MN|•|OQ|，利用基本不等式，可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）由橢圓的方程知a=1，∴點B（0，b），C（1，0），設F的坐標為（-c，0），
∵FC是圓P的直徑，∴FB⊥BC，
∵kBC=-b，kBF=

b

c

，∴-b•

b

c

=-1…（2分）
∴b²=c=1-c²，c²+c-1=0解得c=

5 -1

2

，
∴橢圓離心率e=

c

a

=

5 -1

2

…（4分）
（Ⅱ）∵圓P過點F，B，C三點，∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，
FC的垂直平分線方程為x=

1-c

2

①
∵BC的中點為(

1

2

，

b

2

)，kBC=-b，∴BC的垂直平分線方程為y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)②
由①②得x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

，即P(

1-c

2

，

b2-c

2b

)…（7分）．
∵P在直線x+y=0上，∴

1-c

2

+

b2-c

2b

=0⇒(1+b)(b-c)=0，
∵1+b＞0，∴b=c．
由b²=1-c²得b2=

1

2

，∴橢圓的方程為x²+2y²=1…（9分）
（Ⅲ）由

y=x+t x2+2y2=1

得3x²+4tx+2t²-1=0（*）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

4

3

t，x1x2=

2t2-1

3

∴|MN|²=2[（x+x）²-4x₁x₂]=2(

16t2

9

-

8t2-4

3

)=

2

9

(-8t2+12)…（11分）．
∴|MN|•|OQ|=

2 9 (-8t2+12)

|t|=

2 9 (-8t2+12)t2

≤

2 9 • 1 8 ( (-8t2+12)+8t2 2 )2

=

1

6

•6=1…（13分）
當且僅當-8t²+12=8t²，t2=

12

16

=

3

4

時取等號．
此時方程（*）中的△＞0，∴|MN|•|OQ|的最大值為1…（13分）

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查基本不等式的運用，確定橢圓的方程是關鍵．