Question

5．已知直線l的方程為y=x+4，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸．建立極坐標系．
（Ⅰ）求直線l與圓C的交點的極坐標；
（Ⅱ）若P為圓C上的動點．求P到直線l的距離d的最大值．

Answer 1

分析 （I）由圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1化為普通方程，與直線方程聯(lián)立解得交點坐標，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{tanθ=\frac{y}{x}}\end{array}\right.$可得極坐標．
（II）圓心（0，2）到直線l的距離為d₁，可得P到直線l的距離d的最大值為d₁+r．

解答 解：（I）由圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1化為：x²+（y-2）²=4，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{{x}^{2}+（y-2）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$．
可得極坐標分別為：$（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，$（4，\frac{π}{2}）$．
（II）圓心（0，2）到直線l的距離$\frac{|0-2+4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴P到直線l的距離d的最大值為$\sqrt{2}$+r=$\sqrt{2}$+2．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．