Question

5．設(shè)圓C：x²+y²+4x-6y=0．
（1）若圓C關(guān)于直線l：a（x-2y）-（2-a）（2x+3y-4）=0對稱，求實數(shù)a；
（2）求圓C關(guān)于點A（-2，1）對稱的圓的方程；
（3）若圓C與圓C₁；x²+y²+Dx+2y+F=0關(guān)于直線x-2y+b=0對稱，求D、F、b的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得圓心（-2，3）在直線l上，將（-2，3）代入直線l的方程，求得a的值．
（2）求出圓心C關(guān)于點A的對稱點的坐標，可得圓C關(guān)于點A（-2，1）的對稱圓方程．
（3）由題意（-2，3）與（-$\frac{D}{2}$，-1）關(guān)于直線x-2y+b=0對稱，求出D，b，結(jié)合圓的半徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意得，圓C：（x+2）²+（y-3）²=13關(guān)于直線l：a（x-2y）-（2-a）（2x+3y-4）=0對稱，即圓心（-2，3）在直線l上，
將（-2，3）代入直線l的方程，得a（-2-2×3）-（2-a）[2×（-2）+3×3-4]=0，
解得a=-$\frac{2}{7}$；
（2）∵圓C：（x+2）²+（y-3）²=13的圓心（-2，3）關(guān)于點A（-2，1）的對稱點為（-2，-1），
∴圓C：（x+2）²+（y-3）²=13關(guān)于點A（-2，1）的對稱圓方程為（x+2）²+（y+1）²=13；
（3）由題意（-2，3）與（-$\frac{D}{2}$，-1）關(guān)于直線x-2y+b=0對稱，
∴$\frac{3+1}{-2+\frac{D}{2}}$=-2，（-1-$\frac{D}{4}$）-2+b=0，
∴D=0，b=3，
∵圓的半徑是$\sqrt{13}$，
∴圓C₁：x²+（y+1）²=13，
∴F=-12．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，求一個圓關(guān)于直線的對稱圓的方程的方法，關(guān)鍵是求出圓心關(guān)于直線的對稱點的坐標，求一個點關(guān)于某個點的對稱點的坐標，屬于中檔題．