已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的離心率是
3
2
．
（1）證明：a=2b；
（2）設(shè)點P為橢圓上的動點，點A(0，
3
2
)，若|
AP
|的最大值是
7
，求橢圓的方程．
分析：（1）根據(jù)離心率為
c
a
=
3
2
以及c2=a2-b2，即可證明結(jié)論．
（2）設(shè)P（x，y）由/
.
AP
/的最大值為
7
，求得b的值，從而求得橢圓方程．
解答：解：（1）證明：設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的半焦距為c．
因為橢圓的離心率是
3
2
，所以 
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
=
3
4
，即a=2b．      
（2）設(shè)點P（x，y）．
則|
AP
|2=x2+(y-
3
2
)2=a2(1-
y2
b2
)+y2-3y+
9
4
=4b2-3y2-3y+
9
4
=-3(y+
1
2
)2+4b2+3，其中-b≤y≤b．
①若b＜
1
2
2，則當(dāng)y=-b3時，|
AP
|4取得最大值．
由題設(shè)，(
7
)2=(b+
3
2
)2，b=
7
-
3
2
＞
1
2
，這與b＜
1
2
矛盾．             
②若b≥
1
2
，則當(dāng)y=-
1
2
時，|
AP
|取得最大值．
由題設(shè)，(
7
)2=4b2+3，解得b=1，從而a=2．
故橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)，并滲透了向量、函數(shù)最值等問題，此題要注意對b的范圍進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案