Question

10．已知函數(shù)f（x）=alnx-x²．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)y=f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值；
（2）當(dāng)a=2時，函數(shù)h（x）=f（x）-mx的圖象與x軸交于兩點A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，又h′（x）是h（x）的導(dǎo)函數(shù)，若正常數(shù)α、β滿足條件α+β=1，β≥α．試問：h′（αx₁+βx₂）＜0是否恒成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時，利用導(dǎo)數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最大值．
（2）由題意可得，f（x）-mx=0有兩個實根x₁，x₂，化簡可得$m=\frac{{2（ln{x_1}-ln{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}-（{x_1}+{x_2}）$．可得h′（αx₁+βx₂）=$\frac{2}{{α{x_1}+β{x_2}}}-\frac{{2（ln{x_1}-ln{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}+（2α-1）（{x_2}-{x_1}）$，由條件知（2α-1）（x₂-x₁）≤0，再用分析法證明h′（αx₁+βx₂）＜0．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=alnx-x² ，可得當(dāng)a=2時，${f^'}（x）=\frac{2}{x}-2x=\frac{{2-2{x^2}}}{x}$，…（2分）
故函數(shù)y=f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]是增函數(shù)，在[1，2]是減函數(shù)，
所以$f{（x）_{max}}=f（1）=2ln1-{1^2}=-1$．  …（4分）
（2）h′（αx₁+βx₂）＜0可以恒成立．
證明：由題意可得，${h^'}（x）=\frac{2}{x}-2x-m$，又f（x）-mx=0有兩個實根x₁，x₂，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2ln{x_1}-x_1^2-m{x_1}=0}\\{2ln{x_2}-x_2^2-m{x_2}=0}\end{array}}\right.$，兩式相減，得$2（ln{x_1}-ln{x_2}）-（{x_1}^2-x_2^2）=m（{x_1}-{x_2}）$，
∴$m=\frac{{2（ln{x_1}-ln{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}-（{x_1}+{x_2}）$．…（6分）
于是${h^'}（α{x_1}+β{x_2}）=\frac{2}{{α{x_1}+β{x_2}}}-2（α{x_1}+β{x_2}）-\frac{{2（ln{x_1}-ln{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}+（{x_1}+{x_2}）$=$\frac{2}{{α{x_1}+β{x_2}}}-\frac{{2（ln{x_1}-ln{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}+（2α-1）（{x_2}-{x_1}）$ …（8分）
∵β≥α，∴2α≤1，
∴（2α-1）（x₂-x₁）≤0．
要證：h′（αx₁+βx₂）＜0，只需證：$\frac{2}{{α{x_1}+β{x_2}}}-\frac{{2（ln{x_1}-ln{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，
只需證：$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{α{x_1}+β{x_2}}}-ln\frac{x_1}{x_2}＞0$．（*）  …（10分）
令$\frac{x_1}{x_2}=t∈（0，1）$，∴（*）化為 $\frac{1-t}{αt+β}+lnt＜0$，只證$u（t）=lnt+\frac{1-t}{αt+β}＜0$即可．…（11分）
∵${u^'}（t）=\frac{1}{t}+\frac{-（αt+β）-（1-t）α}{{{{（αt+β）}^2}}}=\frac{1}{t}-\frac{1}{{{{（αt+β）}^2}}}=\frac{{{{（αt+β）}^2}-t}}{{t{{（αt+β）}^2}}}=\frac{{{α^2}（t-1）（t-\frac{β^2}{α^2}）}}{{t{{（αt+β）}^2}}}$，…（12分）
又∵$\frac{β^2}{α^2}≥1，0＜t＜1$，
∴t-1＜0，∴u′（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，…（13分）
故有 u（t）＜u（1）=0，
∴$lnt+\frac{1-t}{αt+β}＜0$，即$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{αt+β}+ln\frac{x_1}{x_2}＜0$．
∴h′（αx₁+βx₂）＜0恒成立．…（14分）

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．