Question

16．直線l交橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1于A，B兩點，若線段AB的中點坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$）．則直線l的方程為2x+2y-3=0．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{y}_{2}^{2}$=1，相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2}$+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式代入即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$．k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
由$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{y}_{2}^{2}$=1，相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2}$+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴1+k=0，解得k=-1．
∴直線l的方程為：y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），化為：2x+2y-3=0．
故答案為：2x+2y-3=0．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點差法”、斜率計算公式、中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．