Question

已知一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品需另投入2.7萬(wàn)元，設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品x千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為f（x）萬(wàn)元，且f（x）=

10.8- 1 30 x2(0＜x≤10) 108 x - 1000 3x2 (x＞10)

．
（Ⅰ）寫出年利潤(rùn)P（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)品年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量x為多少千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？（注：年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10；當(dāng)x＞10時(shí)，P=xf（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x；寫成分段函數(shù)即可；
（Ⅱ）分0＜x≤10與10＜x時(shí)討論函數(shù)的最大值，從而求最大值點(diǎn)即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，
P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10；
當(dāng)x＞10時(shí)，P=xf（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x；
故P=

8.1x- x3 30 -10，0＜x≤10 98- 1000 3x -2.7x，x＞10

；
（Ⅱ）①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，由P′=8.1-

x2

10

=0解得，x=9；
故當(dāng)x=9時(shí)有最大值P=8.1×9-

93

30

-10=38.6；
②當(dāng)10＜x時(shí)，由P=98-（

1000

3x

+2.7x）≤98-2

1000 3 ×2.7

=38；
（當(dāng)且僅當(dāng)

1000

3x

=2.7x，即x=

100

9

時(shí)，等號(hào)成立）；
綜上所述，當(dāng)x=9時(shí)，P取得最大值．
即當(dāng)年產(chǎn)量x為9千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．