Question

【題目】已知拋物線(xiàn)，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)，的面積為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，，為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，且，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由得，由三角形面積求得，得拋物線(xiàn)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入拋物線(xiàn)方程得，則，

設(shè)，，由韋達(dá)定理得，，把此結(jié)果代入，可得的關(guān)系式，從而求得的取值范圍，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，表示為的函數(shù)，再利用換元法和函數(shù)的性質(zhì)得出其范圍．

（1）由題意知，，，

將代入，得，故，

所以的面積為，所以，

所以?huà)佄锞�(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立方程，得，消去得，，則，

設(shè)，，易知，均不與原點(diǎn)重合，則．

，，

因?yàn)?/span>，所以，

即，即，

代入，得，解得或，

所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

令，其中或，則或，

所以，

即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍為．