Question

若以曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)M（x₁，y₁）為切點(diǎn)作切線l₁，曲線上總存在異于M的點(diǎn)N（x₂，y₂），以點(diǎn)N為切點(diǎn)做切線L₂，且l₁∥l₂，則稱(chēng)曲線y=f（x）具有“可平行性”，現(xiàn)有下列命題：
①偶函數(shù)的圖象都具有“可平行性”；
②函數(shù)y=sinx的圖象具有“可平行性”；
③三次函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b具有“可平行性”，且對(duì)應(yīng)的兩切點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x₁+x₂=

2

3

；
④要使得分段函數(shù)f（x）=

x+ 1 x (x＞m) ex-1(x＜0)

的圖象具有“可平行性”，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)m=1．
其中的真命題是

 

（寫(xiě)出所有命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分別求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對(duì)應(yīng)的切線斜率，結(jié)合曲線y=f（x）具有“可平行性”，即可得到結(jié)論．

解答： 解：①函數(shù)y=1滿(mǎn)足是偶函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=0恒成立，此時(shí)，任意兩點(diǎn)的切線都是重合的，故①不符號(hào)題意．
②由y′=cosx和三角函數(shù)的周期性知，cosx=a（-1≤a≤1）的解有無(wú)窮多個(gè)，符合題意．
③三次函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b，則f′（x）=3x²-2x+a，方程3x²-2x+a-m=0在判別式△=（-2）²-12（a-m）≤0時(shí)不滿(mǎn)足方程y′=a（a是導(dǎo)數(shù)值）至少有兩個(gè)根．命題③錯(cuò)誤；
④函數(shù)y=e^x-1（x＜0），y′=e^x∈（0，1），
函數(shù)y=x+

1

x

，y′=1-

1

x2

，
則由1-

1

x2

∈（0，1），得

1

x2

∈（0，1），
∴x＞1，則m=1．
故要使得分段函數(shù)f（x）的圖象具有“可平行性”，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)m=1，④正確．
∴正確的命題是②④．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是將定義正確轉(zhuǎn)化為：曲線上至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值相等，綜合性較強(qiáng)，考查了轉(zhuǎn)化思想．