Question

（2013•河池模擬）若數(shù)列{a_n}滿足前n項和為Tn=n2-

1

2

n．
（1）求數(shù)列{

an

2n

}的前n項和S_n；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足條件：b1=2，bn+1≥abn，求證：

1

2b1-3

+

1

2b2-3

+

1

2b3-3

+…+

1

2bn-3

＜2．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)給出的數(shù)列的前n項和，求出數(shù)列{a_n}的通項，代入數(shù)列{

an

2n

}后利用分組和錯位相減法求數(shù)列{

an

2n

}的前n項和S_n；
（2）把（1）中求出的a_n代入bn+1≥abn，把不等式依次循環(huán)得到bn+1-

3

2

≥2n(b1-

3

2

)，代入b₁后得到

1

2bn+1-3

≤

1

2n

，把要證的不等式左邊利用此式放大后借助于等比數(shù)列求和即可得到要征得結(jié)論．

解答：（1）解：由Tn=n2-

1

2

n，
當n=1時，
a1=T1=1-

1

2

=

1

2

．
當n≥2時，
a_n=T_n-T_n-1
=n2-

1

2

n-[(n-1)2-

1

2

(n-1)]
=2n-

3

2

．
此式當n=1時成立．
所以，an=2n-

3

2

．
所以

an

2n

=

2n- 3 2

2n

=

n

2n-1

-

3

2n+1

．
所以數(shù)列{

an

2n

}的前n項和S_n=(

1

20

-

3

22

)+(

2

21

-

3

23

)+(

3

22

-

3

24

)+…+(

n

2n-1

-

3

2n+1

)
=(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)-3(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)．
令Qn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

①

1

2

Qn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

②
①-②得：

1

2

Qn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

．
所以，Qn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

．
又3(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)=3×

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

3

2

(1-

1

2n

)．
所以，Sn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

-

3

2

+

3

2n+1

=

5

2

-

1

2n-2

-

n

2n-1

+

3

2n+1

；
（2）證明：因為an=2n-

3

2

，
則bn+1≥abn=2bn-

3

2

，
即bn+1-

3

2

≥2(bn-

3

2

)≥22(bn-1-

3

2

)≥…≥2n(b1-

3

2

)，
又b₁=2，所以bn+1-

3

2

≥2n(2-

3

2

)=2n-1．
則

1

bn+1- 3 2

≤

1

2n-1

，即

1

2bn+1-3

≤

1

2n

．
所以，

1

2b1-3

+

1

2b2-3

+

1

2b3-3

+…+

1

2bn-3

≤1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

1

2n-1

＜2．

點評：本題考查了利用數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，注意討論n=1的情形，考查了數(shù)列的分組求和和錯位相減法求和，訓練利用放縮法求證不等式，解答此題（2）的關(guān)鍵在于其中的循環(huán)縮小的過程，是該題的難點所在．此題屬難度較大的題型．