Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx，且圖象在點(diǎn)（

1

e

，f（

1

e

））處的切線斜率為1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

f(x)-x

x-1

，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax+xlnx，得f′（x）=a+1+lnx，依題意f′（

1

e

）=a=1，從而求出a=1．
（Ⅱ）由g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，設(shè)h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=1-

1

x

，討論①當(dāng)x＞1時(shí)，②當(dāng)0＜x＜1時(shí)的情況，得出g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（1，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=ax+xlnx，
∴f′（x）=a+1+lnx，
依題意f′（

1

e

）=a=1，
∴a=1．
（Ⅱ）∵g（x）=

xlnx

x-1

，
∴g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，
設(shè)h（x）=x-1-lnx，
則h′（x）=1-

1

x

，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．
對(duì)?x＞1，h（x）＞h（1）=0，即當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）是減增函數(shù)．
對(duì)?x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的值，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．