Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-9x²+12x分別在x₁，x₂處取得極小值，極大值．xoy平面上點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足

PA

•

PB

=4，求P點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,軌跡方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x）=6x²-18x+12=0，得f（x）在（-∞，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減，從而x=1是極大值點(diǎn)，x=2是極小值點(diǎn)，進(jìn)而求出A（2，4），B（1，5）；
（2）設(shè)P（x，y），則

PA

=（2-x，4-y），

PB

=（1-x，5-y），從而

PA

•

PB

=（2-x）（1-x）+（4-y）（5-y）=4，化簡(jiǎn)得：(x-

3

2

)2+(y-

9

2

)2=

9

2

，進(jìn)而求出P點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：（1）f′（x）=6x²-18x+12=0，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，x＞2，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減，
∴x=1是極大值點(diǎn)，x=2是極小值點(diǎn)，
∴x₁=2，f（x₁ ）=4，x₂=1，f（x₂ ）=5，
∴A（2，4），B（1，5）；
（2）設(shè)P（x，y），則

PA

=（2-x，4-y），

PB

=（1-x，5-y），
∴

PA

•

PB

=（2-x）（1-x）+（4-y）（5-y）=4，
化簡(jiǎn)得：(x-

3

2

)2+(y-

9

2

)2=

9

2

，
∴P是以（

3

2

，

9

2

）為圓心，以

3 2

2

為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，向量的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．