【題目】如圖，在三棱臺中，，.若點為的中點，點為靠近點的四等分點.

（1）求證：平面；

（2）若三棱臺的體積為，求三棱錐的體積.

注：臺體體積公式：，或在分別為臺體上下底面積，為臺體的高.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，可得∥，再由已知可證四邊形為平行四邊形，得∥，進而有∥，即可證明結論；

（2）根據(jù)已知可得三棱臺的高為，可得平面，再結合已知可證平面，應用，即可求解.

（1）如圖3，取的中點，連接.

在中，由為中點，有∥.

由棱臺的性質知∥，與相似，

且，則有，

所以有∥，

所以四邊形為平行四邊形，

則∥，所以∥，又平面，

平面，所以∥平面.

（2）設三棱臺的高為，，

則體積，則，故平面.

由，，，所以平面.

，為中點，

，

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦點為F點Q是拋物線C上的一點，且點Q的縱坐標為4，點Q到焦點的距離為5．

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線l不經(jīng)過Q點且與拋物線交于A，B兩點，QA，QB的斜率分別為K1，K2，若K1K2＝﹣2，求證：直線AB過定點，并求出此定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是函數(shù)的部分圖象，把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標不變），再把所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）

A.函數(shù)是偶函數(shù)

B.函數(shù)圖象的對稱軸為直線

C.函數(shù)的單調遞增區(qū)間為

D.函數(shù)圖象的對稱中心為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】抖音是一款音樂創(chuàng)意短視頻社交軟件，是一個專注年輕人的15秒音樂短視頻社區(qū)，用戶可以通過這款軟件選擇歌曲，拍攝15秒的音樂短視頻，形成自己的作品．2018年6月首批25家央企集體入駐抖音，一調研員在某單位進行刷抖音時間的調查，若該單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人．

（1）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有3人是抖音迷，4人為非抖音迷，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的詳細登記．

①用表示抽取的3人中是抖音迷的員工人數(shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望；

②設為事件“抽取的3人中，既有是抖音迷的員工，也有非抖音迷的員工’’，求事件發(fā)生的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】三峽大壩專用公路沿途山色秀美，風景怡人.為確保安全，全程限速為80公里/小時.為了解汽車實際通行情況，經(jīng)過監(jiān)測發(fā)現(xiàn)某時段200輛汽車通過這段公路的車速均在[50，90]（公里/小時）內，根據(jù)監(jiān)測結果得到如下組距為10的頻率分布折線圖：

（1）請根據(jù)頻率分布折線圖，將頰率分布直方圖補充完整（用陰影部分表示）；

（2）求這200輛汽車在該路段超速的車輛數(shù)以及在該路段的平均速度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求的單調區(qū)間；

（2）若曲線與直線有且只有一個公共點，求證：．（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，圖象過點.

（1）求的表達式和的遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地計劃在水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量（年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.

（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關系：

年入流量

發(fā)電機最多可運行臺數(shù)

1

2

3

若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年凈利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年維護費與年入流量有如下關系：

年入流量

一臺未運行發(fā)電機年維護費

500

800

欲使水電站年凈利潤最大，應安裝發(fā)電機多少臺？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年3月份，上海出臺了《關于建立完善本市生活垃圾全程分類體系的實施方案》，4月份又出臺了《上海市生活垃圾全程分類體系建設行動計劃（2018-2020年）》，提出到2020年底，基本實現(xiàn)單位生活垃圾強制分類全覆蓋，居民區(qū)普遍推行生活垃圾分類制度．為加強社區(qū)居民的垃圾分類意識，推動社區(qū)垃圾分類正確投放，某社區(qū)在健身廣場舉辦了“垃圾分類，從我做起”生活垃圾分類大型宣傳活動，號召社區(qū)居民用實際行動為建設綠色家園貢獻一份力量，為此需要征集一部分垃圾分類志愿者．

（1）為調查社區(qū)居民喜歡擔任垃圾分類志愿者是否與性別有關，現(xiàn)隨機選取了一部分社區(qū)居民進行調查，其中被調查的男性居民和女性居民人數(shù)相同，男性居民中不喜歡擔任垃圾分類志愿者占男性居民的，女性居民中不喜歡擔任垃圾分類志愿者占女性居民的，若研究得到在犯錯誤概率不超過0.010的前提下，認為居民喜歡擔任垃圾分類志愿者與性別有關，則被調查的女性居民至少多少人？

附，，

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

（2）某垃圾站的日垃圾分揀量（千克）與垃圾分類志愿者人數(shù)（人）滿足回歸直線方程，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

志愿者人數(shù)（人）

2

3

4

5

6

日垃圾分揀量（千克）

25

30

40

45

已知，，，根據(jù)所給數(shù)據(jù)求和回歸直線方程，附：，．

（3）用（2）中所求的線性回歸方程得到與對應的日垃圾分揀量的估計值．當分揀數(shù)據(jù)與估計值滿足時，則將分揀數(shù)據(jù)稱為一個“正常數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從5個分揀數(shù)據(jù)中任取3個，記表示取得“正常數(shù)據(jù)”的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．

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