Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線與直線有且只有一個公共點，求證：．（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)求導，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有且只有一個零點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于的等式，最后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍，從而得證．

（1）由題意，函數(shù)，則，

設(shè)，則，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

因為，所以當時，，當時，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）設(shè)函數(shù)，

由曲線與直線有且只有一個公共點，

等價于函數(shù)有且只有一個零點，

又由，

設(shè)，則，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

因為，所以存在，使，

所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，

而，

所以要使函數(shù)有且只有一個零點，則，

所以，即，

消元得．

令，則，

當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，

又由，所以存在，使得，

即若曲線與直線有且只有一個公共點，則．