Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃和a₅的等比中項(xiàng)為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式；
（3）當(dāng)

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

最大時(shí)，求n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a₁a₅=a₃²，a₂a₈=a₅²化簡(jiǎn)a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25得到a₃+a₅=5，又因?yàn)閍₃與a₅的等比中項(xiàng)為2，聯(lián)立求得a₃與a₅的值，求出公比和首項(xiàng)即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）把a(bǔ)_n代入到b_n=log₂a_n中得到b_n的通項(xiàng)公式，即可得到前n項(xiàng)和的通項(xiàng)s_n；
（3）把s_n代入得到

sn

n

，確定其正負(fù)，即可求n的值．

解答： 解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25
又a _n＞0，∴a₃+a₅=5  …（1分）
又a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2，∴a₃a₅=4  …（2分）
而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，
∴q=

1

2

，a₁=16，∴a_n=16×（

1

2

）^n-1=2^5-n．
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n，∴b_n+1-b_n=-1，
b₁=log₂a₁=log₂16=log₂2⁴=4，
∴{b_n}是以b₁=4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=

n(9-n)

2

．…（8分）
（3）∵

sn

n

=

9-n

2

，
∴n≤8時(shí)，

sn

n

＞0，n=9時(shí)，

sn

n

=0，n＞9時(shí)，

sn

n

＜0，
∴n=8或9時(shí)，

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

最大…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方法的合理運(yùn)用．