Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

x+ln

e

2

，g（x）=

3x

2

-

2

x

-f（x）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=x²-mx+4，若存在x₁∈（0，1]，對任意的x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，得到最大值，再由條件得到g（x）在（0，1]上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值，列出不等式組，解出即可得到．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

x+ln

e

2

，
故導(dǎo)數(shù)f′(x)=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

．
∴當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞2時，f′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（2，+∞）；
（2）g（x）=

3x

2

-

2

x

-lnx+

x

2

-ln

e

2

，
則g′（x）=2-

1

x

+

2

x2

=

2x2-x+2

x2

，
而2x²-x+2=2（x-

1

4

）²+

15

8

＞0，故在（0，1]上g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，∴g（x）_max=g（1）=ln2-1，
而“存在x₁∈（0，1]，對任意的x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立”
等價于“g（x）在（0，1]上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”，
而h（x）在[1，2]上的最大值為h（1），h（2）中的最大者，記為max{h（1），h（2）}
所以

g(1)≥h(1) g(1)≥h(2)

，即有

ln2-1≥5-m ln2-1≥8-2m

，
則

m≥6-ln2 m≥ 1 2 (9-ln2)

即有m≥6-ln2．
故實數(shù)m的取值范圍為[6-ln2，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．