Question

已知函數(shù)，f（0）=1-，且
（1）求a，b的值及f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）由f（x）的圖象是否可以經(jīng)過平移變換得到一個奇函數(shù)y=g（x）的圖象？若能，請寫出你的變換過程；否則說明理由．

Answer 1

解：（1）=a +bcos2x=++bcos2x．
由f（0）=1-，且可得 ，且，∴a=2，b=-．
∴f（x）=1+sin2x-cos2x=1+2sin（2x-），故它的最大值為3，最小值等于-1．
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x上恒成立，即m-3＜2sin（2x-）＜1+m．
由于≤x≤，∴≤2x-≤，∴≤2sin（2x-）≤2．
∴1+m＞2，m-3＜，解得1＜m＜，
故實數(shù)m的取值范圍（1，）．
（3）由f（x）=1+2sin（2x-）可得，
把f（x）的圖象向左平移個單位得到y(tǒng)=1+2sin2x的圖象，
再向下平移1個單位可得y=2sin2x的圖象，而y=2sin2x就是奇函數(shù)，
故由f（x）的圖象可以經(jīng)過平移變換得到一個奇函數(shù)y=g（x）的圖象．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x）的解析式，由條件求出a、b的值，進一步化簡f（x）=1+2sin（2x-），從而求出函數(shù)的最大值和最小值．
（2）由條件可得x上時，m-3＜2sin（2x-）＜1+m恒成立，故有 ≤2sin（2x-）≤2．由 1+m＞2，m-3＜，求出實數(shù)m的取值范圍．
（3）由f（x）=1+2sin（2x-） 可得，把f（x）的圖象向左平移個單位得到y(tǒng)=1+2sin2x的圖象，再向下平移1個單位可得y=2sin2x的圖象，而y=2sin2x就是奇函數(shù)，從而得到結(jié)論．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，正弦函數(shù)的值域，函數(shù)的恒成立問題，以及函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．