已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(x)=x2+2x.
(Ⅰ) 求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
分析:(Ⅰ)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)Q(x0,y0)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P(x,y),求出P,Q坐標(biāo)關(guān)系,然后把Q坐標(biāo)代入y=f(x)解析式即可;
(Ⅱ)把不等式表示出來,分x≥1及x<1兩種情況可解;
(Ⅲ)寫出h(x)的解析式,由題意可知[-1,1]為函數(shù)h(x)的增區(qū)間的子集,分情況討論可求λ的范圍.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)Q(x0,y0)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P(x,y),
x0+x
2
=0
y0+y
2
=0
x0=-x
y0=-y.

∵點(diǎn)Q(x0,y0)在函數(shù)y=f(x)的圖象上
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,
故g(x)=-x2+2x.
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0,
當(dāng)x≥1時,2x2-x+1≤0,此時不等式無解;
當(dāng)x<1時,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤
1
2

因此,原不等式的解集為[-1,
1
2
]

(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
①當(dāng)λ=-1時,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函數(shù),∴λ=-1
當(dāng)λ≠-1時,對稱軸的方程為x=
1-λ
1+λ

(ⅰ)當(dāng)λ<-1時,
1-λ
1+λ
≤-1,解得λ<-1

(ⅱ)當(dāng)λ>-1時,
1-λ
1+λ
≥1,解得-1<λ≤0.
綜上,λ≤0.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性及含絕對值的不等式的求解,注意體會分類歸納思想在本題中的運(yùn)用.
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1
2
x
.則不等式g(x)≥f(x)-|x-4|的解集為(  )

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(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)λ≠-1,若h(x)=g(x)-λf(x)+1在x∈[-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x)≤g(x)+|x-1|;
(3)若函數(shù)h(x)=f(x)+λ•g(x)+1在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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