Question

已知兩定點E（-，0），F(xiàn)（，0），動點P滿足•=0，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點M滿足=，點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l交曲線C于A、B兩點，且坐標原點O到直線l的距離為，求|AB|的最大值及對應的直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出P的軌跡4方程，再確定M，P坐標之間的關(guān)系，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式，結(jié)合坐標原點O到直線l的距離為，即可求|AB|的最大值及對應的直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵動點P滿足•=0，∴點P的軌跡方程為x²+y²=2．
設M（x，y），依題意可得P（x，y）
代入P滿足的方程可得x²+（y）²=2，即曲線C：+y²=1．…（4分）
（Ⅱ）①若直線l垂直于x軸，此時|AB|=．   …（5分）
②若直線l不垂直于x軸，設直線l的方程為y=kx+m，
則原點O到直線l的距離為=，整理可得2m²=1+k²．…（6分）
由消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意可得△＞0，
則x₁+x₂=-，x₁x₂=．
∴|AB|=•=2•…（8分）
∵2m²=1+k²，
∴2（1+k²）（1+2k²-m²）=（1+k²）（2+4k²-2m²）=（1+k²）（1+3k²）≤（1+2k²）²，
等號當且僅當1+k²=1+3k²，即k=0時成立．
即2•≤2，
所以k=0時，|AB|取得最大值2．
此時直線l的方程為y=±．…（12分）
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查代入法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．