Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2）．
（1）問：數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；
（2）求S_n和a_n；
（3）求證：S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），可得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，化為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可得出；
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，再利用遞推式即可得出．
（3）利用${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2），即可證明．

解答 （1）解：∵a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），
∴S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，
化為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴${S_n}=\frac{1}{2n}$；
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n}-\frac{1}{2（n-1）}$=$-\frac{1}{2n（n-1）}$．
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}（n=1）\\-\frac{1}{2n（n-1）}（n≥2）\end{array}\right.$．
（3）證明：∵${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2），
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

點(diǎn)評 本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．