Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明不等式對任意成立．

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
從而可得，
得到對任意成立．
通過取，，得，．
將上述n個(gè)不等式求和,得到:，
證得對任意成立．

試題分析：（Ⅰ）首先求，切線的斜率，求得切線方程.
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，根據(jù)，只要考查的分子的符號(hào)．
通過討論，得時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令求得其根． 利用“表解法”得出結(jié)論：函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
從而可得，
得到對任意成立．
通過取，，得，．
將上述n個(gè)不等式求和,得到:，
證得對任意成立．
試題解析：．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，切線的斜率，
所以切線方程為，即．       3分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824021218505393.png" style="vertical-align:middle;" />，所以只要考查的符號(hào)．
由，得，
當(dāng)時(shí)，，從而，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由解得．  6分
當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：

函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增． 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
所以，
即對任意成立．      11分
取，，
得，即，．  13分
將上述n個(gè)不等式求和,得到:，
即不等式對任意成立．   14分