Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，橢圓C上兩點(diǎn)P，Q在X軸上的射影分別為左焦點(diǎn)F₁和右焦點(diǎn)F₂，直線PQ的斜率為

3

2

，過點(diǎn)A且與AF₁垂直的直線與X軸交于點(diǎn)B，△AF₁B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線3x+4y+

1

4

a²=0與圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且

.

ME

•

.

MF

=-

1

2

 a²，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，利用直線PQ的斜率為

3

2

，建立方程，即可求得橢圓的離心率；
（2）先確定圓心坐標(biāo)與半徑，再利用

.

ME

•

.

MF

=-

1

2

 a²，可得M到直線3x+4y+

1

4

a²=0的距離為

1

2

a，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）由題意，不妨設(shè)P（-c，-

b2

a

），Q（c，

b2

a

），則直線PQ的斜率為

b2 a

c

=

3

2

∴

a2-c2

ac

=

3

2

，∴2e²+3e-2=0，
∵0＜e＜1，∴e=

1

2

；
（2）∵e=

1

2

，∴∠AF₁B=60•，a=2c
∵|AF₁|=a，∴|BF₁|=2a，即圓M的直徑為2a，B（3c，0），圓心坐標(biāo)為（c，0）
∵

.

ME

•

.

MF

=-

1

2

 a²，
∴

.

ME

2cos∠EMF=-

1

2

 a²，
∴cos∠EMF=-

1

2

∴∠EMF=120°
∴M到直線3x+4y+

1

4

a²=0的距離為

1

2

a
∴

|3c+ 1 4 a2|

5

=

1

2

a
∵a=2c，∴c=2，a=4
∴b²=a²-c²=12
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是確定圓的圓心與半徑，屬于中檔題．