Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，PA=PD； 
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=AB=2，點M滿足

PC

=3

PM

，求四棱錐M-BCDQ的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)條件和線面垂直的判定定理得：AD⊥平面PQB，再由面面垂直的判斷定理證明出平面PQB⊥平面PAD；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理的條件得：PQ⊥平面ABCD，再由條件求出PQ、S_{四邊形BCDQ}和點M到平面BCDQ的距離，代入三棱錐的體積公式求出四棱錐M-BCDQ的體積．

解答： （1）證明：由條件得，

PQ⊥AD BQ⊥AD PQ∩BQ=Q

⇒AD⊥平面PQB，
又AD?平面PAD，
所以平面PQB⊥平面PAD…（6分）
（2）解：∵PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，
∴PQ⊥平面ABCD，
∵PA=AB=2，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，PA=PD，
∴PQ=

3

，S_{四邊形BCDQ}=

1

2

×(1+2)×

3

=

3 3

2

，
由

PC

=3

PM

得，點M到平面BCDQ的距離是

2

3

PQ，
∴VM-BCDQ=

1

3

S四邊形BCDQ•

2

3

PQ=1…（12分）

點評：本題考查了線面垂直的判定定理、面面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，以及三棱錐的體積公式的應(yīng)用．