Question

【題目】已知橢圓C的方程為 + =1（a＞b＞0），雙曲線 ﹣ =1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，且雙曲線的焦距為4 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）設F1 ， F2分別為橢圓C的左，右焦點，過F2作直線l（與x軸不重合）交于橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為E，記直線F1E的斜率為k，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，則 =tan30°= ，即a2=3b2，

由2c=4 ．c=2 ，則a2+b2=8，

解得：a2=8，b2=2，

∴橢圓的標準方程：

（2）解：由（1）可知：F2（2，0），直線AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，

y1+y2=﹣ ，x1+x2= ，

則E（ ，﹣ ），

由F1（﹣2，0），則直線F1E的斜率k= =﹣ ，

①當t=0時，k=0，

②當t≠0時，丨k丨= = ≤ ，

即丨k丨∈（0， ]，

∴k的取值范圍[﹣ ， ]

【解析】（1）由雙曲線的漸近線方程及斜率公式，即可求得a2=3b2，c=2 ，即a2+b2=8，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設直線AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求得斜率丨k丨用t表示，利用基本不等式即可求得k的取值范圍．