Question

【題目】已知函數(shù)有如下性質(zhì)：該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（1）已知，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；

（2）對于(1)中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為，值域；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè) ，構(gòu)造函數(shù)，利用該函數(shù)在 上遞增，在上遞減，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；（2）若對任意，總存在，使得成立，等價(jià)于的值域是函數(shù)的值域的子集，分別求出的值域與函數(shù)的值域，利用包含關(guān)系，列不等式組求解即可.

試題解析：(1)

設(shè)u＝x＋1，x∈[0,3]，1≤u≤4，

則， u∈[1,4]．

由已知性質(zhì)得，當(dāng)1≤u≤2，即0≤x≤1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；

所以減區(qū)間為[0，1]；當(dāng)2≤u≤4，即1≤x≤3時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；

所以增區(qū)間為[1，3] ;由f(1)＝4，f(0)＝f(3)＝5，得f(x)的值域?yàn)閇4，5]．

(2)g(x)＝2x+a為增函數(shù)，故g(x)∈[a，a+6]，x∈[0,3]．由題意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴ ， ∴.