Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函數(shù)，當x＜2時，f（x）=|2^x-1|，那么當x＞2時，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是（　　）

• A、（3，5）
• B、（3，+∞）
• C、（2，+∞）
• D、（2，4]

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性，推導出函數(shù)的對稱性，再由題意和對稱性求出函數(shù)的解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象畫出函數(shù)大致的圖形，可得到函數(shù)的減區(qū)間．

解答： 解：∵y=f（x+2）是偶函數(shù)，∴f（-x+2）=f（x+2），
則函數(shù)f（x）關于x=2對稱，
則f（x）=f（4-x）．
若x＞2，則4-x＜2，
∵當x＜2時，f（x）=|2^x-1|，
∴當x＞2時，f（x）=f（4-x）=|2^4-x-1|，
則當x≥4時，4-x≤0，2^4-x-1≤0，
此時f（x）=|2^4-x-1|=1-2^4-x=1-16•(

1

2

)x，此時函數(shù)遞增，
當2＜x≤4時，4-x＞0，2^4-x-1＞0，
此時f（x）=|2^4-x-1|=2^4-x-1=16•(

1

2

)x-1，此時函數(shù)遞減，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為（2，4]，
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)單調性，指數(shù)函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)奇偶性得到函數(shù)的對稱性、函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵，考查數(shù)形結合思想．