Question

某校舉辦學(xué)生綜合素質(zhì)大賽，對該校學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)測試，學(xué)校對測試成績（10分制）大于或等于7.5的學(xué)生頒發(fā)榮譽證書，現(xiàn)從A和B兩班中各隨機抽5名學(xué)生進(jìn)行抽查，其成績記錄如下：

A	7	7	7.5	9	9.5
B	6	x	8.5	8.5	y

由于表格被污損，數(shù)據(jù)x，y看不清，統(tǒng)計人員只記得x＜y，且A和B兩班被抽查的5名學(xué)生成績的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若從B班被抽查的5名學(xué)生中任抽取2名學(xué)生，求被抽取2學(xué)生成績都頒發(fā)了榮譽證書的概率；
（Ⅱ）從被抽查的10名任取3名，X表示抽取的學(xué)生中獲得榮譽證書的人數(shù)，求X的期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）分別求出A和B的平均數(shù)和方差，由

.

xA

=

.

xB

，得x+y=17，由SA2=SB2，得（x-8）²+（y-8）²=1，由x＜y，得x=8，y=9，記“2名學(xué)生都頒發(fā)了榮譽證書”為事件C，則事件C包含

C

2 4

=6個基本事件，共有

C

2 5

=10個基本事件，由此能求出2名學(xué)生頒發(fā)了榮譽證書的概率．
（Ⅱ）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵

.

xA

=

1

5

（7+7+7.5+9+9.5）=8，

.

xB

=

1

5

（6+x+8.5+8.5+y），
∵

.

xA

=

.

xB

，∴x+y=17，①
∵SA2=

1

5

(1+1+0.25+1+2.25)=1.1，
SB2=

1

5

[4+(x-8)2+0.25+0.25+(y-8)2]，
∵SA2=SB2，得（x-8）²+（y-8）²=1，②
由①②解得

x=8 y=9

或

x=9 y=8

，
∵x＜y，∴x=8，y=9，
記“2名學(xué)生都頒發(fā)了榮譽證書”為事件C，則事件C包含

C

2 4

=6個基本事件，
共有

C

2 5

=10個基本事件，
∴P（C）=

6

10

=

3

5

，
即2名學(xué)生頒發(fā)了榮譽證書的概率為

3

5

．
（Ⅱ）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

1

C 3 10

=

1

120

，
P（X=1）=

C 1 7 C 2 3

C 3 10

=

21

120

，
P（X=2）=

C 2 7 C 1 3

C 3 10

=

63

120

，
P（X=3）=

C 3 7

C 3 10

=

35

120

，
EX=0×

1

120

+1×

21

120

+2×

63

120

+3×

35

120

=

21

10

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的方差的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意平均值和方差的計算和應(yīng)用．