Question

3．某地區(qū)2006年至2012年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
年份代號(hào)t	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2006年至2012年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2014年農(nóng)村居民家庭人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$．$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)求出樣本平均數(shù)以及對(duì)應(yīng)的系數(shù)即可求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（Ⅱ）根據(jù)條件進(jìn)行估計(jì)預(yù)測(cè)即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\overline{t}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9}{7}$=4.3，
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$=$\frac{（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+1×0.5+3×1.6+2×0.9}{（-3）^{2}+（-2）^{2}+（-1）^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}$=0.5．
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$=4.3-0.5×4=2.3
即y關(guān)于t的線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.5t+2.3；
（Ⅱ）∵線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.5t+2.3；斜率k=0.5＞0，
可知2006年至2012年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐漸增加，平均增加0.5千元，
當(dāng)t=9時(shí)，$\widehat{y}$=0.5×9+2.3=6.8；
預(yù)測(cè)該地區(qū)2014年農(nóng)村家庭人均純收入為6.8千元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性回歸方程的求解以及應(yīng)用，根據(jù)數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的系數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．