Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1-an2

（1）求證數(shù)列{

1

bn-1

}是等差數(shù)列并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設Sn=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得b_n+1=

bn

1-an2

=

1-an

(1-an)(1+a1)

=

1

1+an

，從而

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=（-

an+1

an

）-（-

1

an

）=-1，由此能證明數(shù)列{

1

bn-1

}是等差數(shù)列，從而能求出b_n=

n+2

n+3

．
（2）由已知得an=

1

n+3

，從而a_na_n+1=

1

(n+3)(n+4)

=

1

n+3

-

1

n+4

，由此利用裂項求和法能求出S_n．

解答： （1）證明：∵a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，
∴b_n=1-a_n，∴b_n+1=

bn

1-an2

=

1-an

(1-an)(1+a1)

=

1

1+an

，
∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=（-

an+1

an

）-（-

1

an

）=-1，
數(shù)列{

1

bn-1

}是等差數(shù)列，
∵a1+b1=

1

4

+b1=1，∴b1=

3

4

，∴

1

b1-1

=-4，
∴

1

bn-1

=-4+（n-1）×（-1）=-n-3，
解得b_n=

n+2

n+3

．
（2）解：∵a_n+b_n=1，b_n=

n+2

n+3

，∴an=

1

n+3

，
∴a_na_n+1=

1

(n+3)(n+4)

=

1

n+3

-

1

n+4

，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1
=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4n+16

．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．