【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明: 為偶函數(shù);
(2)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,求實數(shù)的取值范圍,使在上恒成立.
【答案】(1)見解析;(2);(3).
【解析】試題分析:(1)代入,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,即可判定為偶函數(shù);
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,求得函數(shù)在上單調(diào)遞增,進而得到對任意的恒成立,即可求解實數(shù)的取值范圍;
(3)由(1)、(2)知函數(shù)的最小值,進而得,設(shè),得不等式恒成立,等價于,進而恒成立,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解實數(shù)的取值范圍.
試題解析:
(1)當(dāng)時, ,定義域關(guān)于原點對稱,
而,說明為偶函數(shù);
(2)在上任取、,且,
則,
因為,函數(shù)為增函數(shù),得, ,
而在上單調(diào)遞增,得, ,
于是必須恒成立,
即對任意的恒成立,
;
(3)由(1)、(2)知函數(shù)在上遞減,在上遞增,
其最小值,
且,
設(shè),則,
于是不等式恒成立,等價于,
即恒成立,
而,僅當(dāng),即時取最大值,
故
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ex﹣ax2﹣2x+b(e為自然對數(shù)的底數(shù),a,b∈R).
(Ⅰ)設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:當(dāng)a>0時,f′(x)的最小值小于0;
(Ⅱ)若a<0,f(x)>0恒成立,求符合條件的最小整數(shù)b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,EP交圓于E,C兩點,PD切圓于D,G為CE上一點且PG=PD,連接DG并延長交圓于點A,作弦AB垂直EP,垂足為F.
(1)求證:BD⊥AD;
(2)若AC=BD,AB=6,求弦DE的長.
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【題目】從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50度至350度之間,頻率分布直方圖如圖所示.
(1)根據(jù)直方圖求x的值,并估計該小區(qū)100戶居民的月均用電量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)從該小區(qū)已抽取的100戶居民中,隨機抽取月用電量超過250度的3戶,參加節(jié)約用電知識普及講座,其中恰有ξ戶月用電量超過300度,求ξ的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x.
(1)若a= ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x∈[1,+∞)時恒有f(x)≤a﹣1,求a的取值范圍.
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【題目】“微信運動”是騰訊開發(fā)的一個記錄跑步或行走情況(步數(shù)里程)的公眾號用戶通過該公眾號可查看自己某時間段的運動情況.某人根據(jù)2018年1月至2018年11月期間每月離步的里程(單位:十公里)的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論正確的是( )
A.月跑步里程逐月增加
B.月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月
C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)
D.1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣lnx+a﹣1,g(x)= +ax﹣xlnx,其中a>0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x≥1時,g(x)的最小值大于 ﹣lna,求a的取值范圍.
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【題目】據(jù)某市供電公司數(shù)據(jù),2019年1月份市新能源汽車充電量約270萬度,同比2018年增長,為了增強新能源汽車的推廣運用,政府加大了充電樁等基礎(chǔ)設(shè)施的投入.現(xiàn)為了了解該城市充電樁等基礎(chǔ)設(shè)施的使用情況,隨機選取了200個駕駛新能源汽車的司機進行問卷調(diào)查,根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照,,…,分成5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值并估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(2)已知滿意度評分值在內(nèi)的男女司機人數(shù)比為,從中隨機抽取2人進行座談,求2人均為女司機的概率.
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【題目】選修4﹣4:極坐標與參數(shù)方程
極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位,以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸.已知曲線C1的極坐標方程為 ,曲線C2的極坐標方程為ρsinθ=a(a>0),射線 , 與曲線C1分別交異于極點O的四點A,B,C,D.
(Ⅰ)若曲線C1關(guān)于曲線C2對稱,求a的值,并把曲線C1和C2化成直角坐標方程;
(Ⅱ)求|OA||OC|+|OB||OD|的值.
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