Question

已知拋物線y=-x²+2過其上一點(diǎn)P引拋物線的切線l，l與坐標(biāo)軸在第一象限圍成△AOB，求△AOB面積S的最小值，并求此時(shí)切線l的方程．

Answer 1

分析：設(shè)切點(diǎn)P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0），由y=-x²+2得y'=-2x，知k_l=-2x₀，故l的方程為：y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）．令y=0，得x=

x 2 0 +2

2x0

，令x=0，得y=x₀²+2，三角形的面積為S=

1

2

•

x 2 0 +2

2x0

(

x

2 0

+2)，由此能求出l的方程．

解答：解：設(shè)切點(diǎn)P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0）
由y=-x²+2得y'=-2x，
∴k_l=-2x₀，
∴l(xiāng)的方程為：y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）…（3分）
令y=0，得x=

x 2 0 +2

2x0

，令x=0，得y=x₀²+2，
三角形的面積為S=

1

2

•

x 2 0 +2

2x0

(

x

2 0

+2)，x₀＞0…（6分）
令S′=

(3 x 2 0 -2)( x 2 0 +2)

4 x 2 0

=0⇒x0=

6

3

(x0＞0)…（8分）
當(dāng)0＜x0＜

6

3

時(shí)，S′＜0； 
當(dāng)x0＞

6

3

時(shí)，S′＞0
∴x0=

6

3

時(shí)，
Smin=

1

2

•

( 6 3 ) 2   +2

2• 6 3

((

6

3

)

2

+2)=

8 6

9

，…（10分）
此時(shí)kl=-

2 6

3

，
切點(diǎn)(

6

3

，

4

3

)，
故l的方程為2

6

x+3y-8=0．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．