Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁₀=1，S₂₀=0．
（1）求數(shù)列{|a_n|}的前20項(xiàng)的和；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：log₂b_n=a_n+10，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁₀=1，S₂₀=0可得a₁，d的方程組，解出可求得a_n，易判斷各項(xiàng)符號，{|a_n|}的前20項(xiàng)的和可轉(zhuǎn)化為{a_n}的各項(xiàng)和去求解；
（2）由log₂b_n=a_n+10可求得b_n，易判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求其前n項(xiàng)和；

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁₀=1，S₂₀=0．
∴

a1+9d=1 20a1+ 20×19 2 d=0

，解得a₁=19，d=-2，
∴a_n=19+（n-1）（-2）=21-2n，
可見，n≤10時，a_n＞0，n＞10時，a_n＜0，
記等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則數(shù)列{|a_n|}的前20項(xiàng)的和：
T_n=a₁+a₂+…+a₁₀-a₁₁-a₁₂-…-a₂₀
=S₁₀+[-（S₂₀-S₁₀）]=2S₁₀-S₂₀=2S₁₀，
而a₁=19，∴Tn=2S10=2[

19+1

2

×10]=200．
（2）由log₂b_n=a_n+10得，bn=2an+10=21-2n，
因?yàn)?span id="7znor5t" class="MathJye">

bn+1

bn

=

2-1-2n

21-2n

=

1

4

，
所以數(shù)列{b_n}是以b1=

1

2

為首項(xiàng)，q=

1

4

為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為

1 2 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

2

3

-

2

3

•(

1

4

)n．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，熟記相關(guān)公式是解決問題的關(guān)鍵．