Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想出{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)b_n=$\frac{1}{a_n^2}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1（n≥2），代入n=2，3，4計(jì)算，可求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即成立，利用遞推式，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
（3）利用放縮法和裂項(xiàng)求和法即可證明．

解答 解：（1）由a₁=2，得${a_2}={a_1}^2-{a_1}+1=3$，
${a_3}={a_2}^2-2{a_2}+1=4$，a₄=5．
（2）由此猜想{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式：a_n=n+1（n≥1）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2=1+1，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即a_k=k+1，那么${a_{k+1}}={a_k}^2-k{a_k}+1={（k+1）^2}-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1$，
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=（k+1）+1也成立．
根據(jù)①②對(duì)于所有n≥1，有a_n=n+1．
證明：（3）∵${b_n}=\frac{1}{a_n^2}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{3}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查歸納猜想，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，放縮法和裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題．